پژوهشهای کنونی در آنالیز تابعی

از چندی به اینطرف جنبشی بزرگ در جهت بررسی پایه های آنالیز تابعی پیدا شده است. تا این اواخر در این علم اصل انتخاب شمارش ناپذیر (Axiome de chiox non denombrable) یا هم ارز آن اصل زرن (Zorn) و یا نتایج این اصل آزادانه بکار برده می شد و از آنجمله پایه های هامل (Bases de Hamel)‘ اولترا فیلترها (Ultrafiltres) و قضایای تیکونف (Tychonov) و غیره.
ولی اخیراً کارهای پروفسور سولرا (R.Solvay) اصل جدیدی را عرضه کرده است که گرچه با اصل زرن متناقض است ولی نتایجش به همان اندازه اصل زرن ثمربخش است. این اصل جدید بیان می کند که هر تابع تعریف شده روی خط حقیقی بر مقیاس لبک (Lebesgue) اندازه پذیر است. می توان ثابت کرد که چنانچه اصل انتخاب شمارش ناپذیر و صورتهای هم ارز آن را کنار بگذاریم و اصل سولوا را بپذیریم به تناقض بر نمی خوریم. همانطور که با پذیرفتن اصل زرن و کنار گذاشتن این اصل جدید نیز تناقضی نخواهد داشت.
گرچه هنوز اثرات این اصل جدید در آنالیز تابعی بطور کامل ارزیابی نشده است ولی از هم اکنون پیداست که این اصل جدید بما امکان می دهد ثابت کنیم هر نیم نرم (Semi – norme) در یک فضای باناخ (Banach) یا هر نیم نرم در یک فضای فرشه (Frechet) و بطور کلی هر نیم نرم در یک فضای اولترا برنولژیک
(Ultra – bornologique) الزاماً پیوسته است. و در نتیجه ثابت می شود که همه فونکسیونل های تعریف شده روی چنین فضاهائی و همچنین همه اپراتورهای خطی چنین فضاهائی الزاماً پیوسته اند.
این نکات جدید ایجاب می کنند که تجدید نظری در شیوه سنتی مطالعه آنالیز تابعی به عمل آید و ما را به سوی بنانهادن یک آنالیز تابعی سازنده (Constructive) یعنی یک آنالیز تابعی که در آن اصل انتخاب شمارش ناپذیر کنار گذاشته شود رهنمون می شوند. بدین ترتیب این دید جدید زمینه محکمی است برای پژوهشگرانی که بخواهند از بکاربردن هر گونه اصل جدیدی اجتناب کنند‘ بعلاوه این دید تازه می تواند نقطه عزیمتی باشد برای آن دسته از محققینی که بخواهند بعداً اصل انتخاب شمارش ناپذیر را قبول کنند و یا اصل سولوا را بپذیرند.
پژوهشهائی که در این زمینه مخصوصاً در دانشگاه لیژ بلژیک بعمل آمده است از هم اکنون مسلم می سازد که در متون کلاسیک در کاربرد اصل انتخاب شمارش ناپذیر اغراق شده است و ثابت می کند که می توان بدون این اصل فیزیک آنالیز تابعی زیبا و مؤثر بدست آورد.
پروفسور گارنیر در کنفرانسهای خود نخست اصل انتخاب شمارش ناپذیر و صورت های هم ارز آن را تشریح کرد و سپس نشان داد که چرا باید این اصل را کنار گذاشت و بدون آن یک آنالیز تابعی ساخت.
برای اثبات ویژگیهای روش سازنده در آنالیز تابعی‘ آقای پروفسور گارنیر متوالیاً تعدادی از نکات حساس آنالیز تابعی معمولی را که می توان آنها را به صورت سازنده برگرداند بررسی کرد و بویژه درباره قضیه هان باناخ (Hahn Banach) مفصلاً بحث کرد و این قضیه را به دو طریق بحالت سازنده برگرداند. یکی توسط فرض های تجزا (Separabilite) که به شکلی ماهرانه بیان شده است و دیگر با جانشین کردن قضیه به قضیه ای مشابه که درباره نیم نرم ها گفته شود. او همچنین فضیه پر اهمیت آلاواگلو (Alaglu) را مورد بحث و بررسی قرار داد.
سخنران سپس بطور مشروح به جبرهای باناخ پرداخت و در اینمورد با بیان صورت سازنده قضیه معروف گلفاند (Guelfand) درباره وجود فونکسیونل ها ضربی که روی یک ایدال ویژه مفروض صفرند نشان داد که چگونه می توان از بنیاد نهادن نظریه جبرهای باناخ روی مفهوم ایدال ماکزیمال (Ideal maximal) اجتناب کرد.
پرفسور گارنیر بطور کلی ثابت کرد که طریقه سازنده آنالیز تابعی در وضع کنونی شناخت ما جوابگوی ضرورت ها است و با کمی مهارت می توان یک متن معتبر از آنالیز تابعی را‘مستقل از هر اصل متمم که بعداً ممکن است انتخاب شود‘ در دسترس همگان قرار دارد.